大数の強法則の初等的な証明
Etemadiによる大数の強法則の証明:
の解説をまとめましたのでPDFを公開いたします.
大数の強法則は独立同分布の確率変数列に対して証明されることが多いですが, 実は「互いに独立」かつ同分布な確率変数列に対しても成り立つということをEtemadiが1981年に証明しました. しかも, Etemadiによる証明は従来の独立同分布の場合の証明よりもずっと初等的なものだったのです.
PDFでは, そのEtemadiによる証明をルベーグ積分のユーザー, つまり, 可測空間の定義や単調収束定理, フビニ・トネリの定理などの有名な事実を知っている人に向けて解説しております. 特に, 確率論の言葉を知らない人でも読めるように独立性などの基本概念から説明しております. なお, 測度の基本性質から証明を載せておりますので, 有名な事実以外については忘れていても読み進めることができると思います.
さらに, PDFでは, 大数の強法則のひとつの応用として, 標本分散および不偏分散が母分散の一致推定量となることの証明を与えております. この事実および一致推定量の定義を測度論に基づいて述べている日本語の文献はWeb上にはあまりないように思われますので, 参考になれば幸いです. なお, PDF内で説明した推定量という言葉についてはあまり自信がありませんので, 詳しい方に見ていただいてご指摘いただけたらな...と思っております. どうぞよろしくお願い申し上げます.
数学的な誤りや打ち間違い, その他のミスがありましたらコメント欄でお知らせいただけますと幸いです.
